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第一章 1.1~1.3 知识梳理
发布时间:2010-12-07 信息来源:合肥市第四十八中学 阅读次数:1485次 【关闭】

合肥第四十八中学    包遵义

 

在小学所学数的基础上引入负数,从而将数的范围扩大到有理数,这是学习数学的一个突破,有着相当重要的意义,今后绝大多数问题均在有理数范围内进行研究的,因此牢固掌握有理数数的相关概念显得尤为重要。

一、知识网络


 

 

 

二、基础知识

(一)一系列相关概念

1.正数:像7、8848、 、0.75 ……这样大于0的数叫做正数;

   负数:像-3、-14、-155 ……这样在正数前加上负号“-”的数叫做负数;

     零:0既不是正数,也不是负数;

【注意】 ① 学习负数的必要性:负数的引入为解决现实问题提供了方便;

② 正数2006前面可以添上正号“+”,写成+2006,也可以省略“+” ;

③ 负数一定含有负号“-”,但含有负号“-”的数不一定是负数,如-3是负数,但-(-3)等却不是;

2.对零的进一步认识:

① 0是最小的自然数但不是最小的数,0比任何负数都大,比任何正数都小;

② 0既不是正数也不是负数,0可以表示没有,但不一定都表示没有;

③ 0是唯一不带符号的数,+0、-0的实质都是0,它是正数与负数的分界数;

④ 0还可以表示基准.

3.正负数的现实意义:正数、负数可以表示一对意义相反的量,如果正数(或负数)表示某种意义,那么负数(或正数)表示它的相反意义,这种正、负意义通常是人为规定的,但生活中往往有约定俗成的,如上升10m通常记为+10m,则下降3m记为-3m;上升-5m实质是下降了5m .

4.有理数:整数和分数统称为有理数.

 

(二)两方面切身体会

1.认识有理数的前提:会分类

① 按负数的引入来分              ② 按定义来分

 

 

 

 

 



   

   

2.认识有理数的利器:画数轴

   ① 数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴;

   ② 画数轴时,原点、正方向和单位长度这三要素一个都不能忽视;

③ 任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示,原点表示数0,如果向右为正方向,那么正有理数都在原点的右边,负有理数都在原点的左边;

   如:在图1中A、B、C、D四点表示的有理数分别为-5、-2、1.5、5 ;

④ 数轴右边的数总比左边的数大(如图1所示)

 

 

 

 

 

 

 



(三)三方面深刻认识

      鉴于数轴的重要性,下面结合数轴从另三个方面加强对有理数的认识

1.相反数

① 定义:如果两个数只有符号不同,那么称这两个数互为相反数,也可以说其中一个数是另一个数的相反数;如+2006与-2006互为相反数,也可以说2006的相反数是-2006,-2006的相反数是2006;

② “只有”的意思是表示除符号不同之外其它完全相同,与“只要”区别很大,如+3和-4不互为相反数;另外,-3的相反数不能写成-  ;

③ “互为”表示相反数是成对出现的;

④ 在任何一个有理数的前面加一个“-”,就表示这个数的相反数;

⑤ 零的相反数还是零;即相反数是它本身的数只有零;

⑥ 互为相反数的两个数在数轴上位于原点的两旁,并且到原点的距离相等;如图1中点A和点D表示的两个数;

2.绝对值

① 定义:在数轴上,表示数a的点到原点的距离,叫做这个数a的绝对值,记作 ;

② 代数意义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值仍是零;若用a表示有理数,则有 
③ 几何意义:-8的绝对值在数轴上表示-8这一点到原点的距离是8,记作 
④ 一个数的绝对值一定是一个非负数(正数或零),不可能为负数;即  ;

⑤ 互为相反数的两个数绝对值相等,因此绝对值相等且符号相反的两个数一定互为相反数;

3.有理数大小的比较

   ⑴ 利用数轴比较两个有理数的大小:

      数轴上两个点所表示的有理数,右边的数总比左边的数大;

  【注意】① 正数大于零,负数小于零,正数大于负数;即:正数>0>负数;

          ② 两个负数中距离原点越远的数越小,如图1中-5<-2 ;

   ⑵ 利用绝对值比较两个负数的大小:

      两个负数比较大小,绝对值大的反而小;

【注意】比较两个负数大小的步骤:

        ① 分别求两个数的绝对值;

② 比较这两个绝对值的大小;

③ 根据“两个负数,绝对值大的反而小”得出原来两个数的大小.

“学而不思则罔,思而不学则殆”。希望通过以上知识的归纳与反思,对你在学数学、用数学的方法与习惯上有所启迪与帮助,力争尽快让自己在数学的学习中从“学会”到“会学”、“乐学” !