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巧用“心”思妙解题
发布时间:2010-12-07 信息来源:合肥市第四十八中学 阅读次数:1502次 【关闭】

史承灼

拜读贵刊初中教师版2004年第12期刊载的黄炜老师的文章《与三角形有关的三线共点问题》(以下简称“黄文”)后,颇受启发。我们知道:三角形的三边垂直平分线共点,这一点为三角形的外心(即三角形的外接圆的圆心);三角形的三条内角平分线共点,这一点是三角形的内心(即三角形的内切圆的圆心);三角形的三边上的中线共点,这一点叫做三角形的重心;三角形的三条高所在的直线共点,这一点称为三角形的垂心。本文拟谈谈三角形的上述“四心”在解题中的一些应用,算是对黄文的补遗之作吧。
一、妙用“外心”
    例1已知:如图,AB为⊙O的直径,过点A、B引弦AC、BD,设AC、BD相交于点E,又过点C、D引⊙O的切线交于点P,连结PE。
    求证:PE⊥AB。
    证明:连结OC、OD、CD。
    ∵∠ACO=∠CAO=∠CDE,
    ∴OC是△CDE外接圆的切线。
    ∵PC是⊙O的切线,
    ∴PC⊥CO。
    于是有△CDE外接圆的圆心在直线PC上。
    同理可证,△CDE外接圆的圆心在直线PD上。
    从而,P为△CDE外接圆的圆心,即△CDE外心。
    ∴PD=PE=PC。
    ∴∠PEC=∠PCE。
    ∴∠CAB+∠PEC=∠ACO+∠PCE=90°。
    ∴PE⊥AB。
    评注:要证明PE⊥AB,须证明∠CAB+∠PEC=90°,由于∠ACO+∠PCE=90°,因此须证∠PEC=∠PCE,即须证PE=PC。所以考虑点P当是△CDE外接圆的圆心。而这一点恰恰是证明本题的关键所在。当然本题在证明“OC是△CDE外接圆的切线时”,需用到“弦切角定理” 的逆定理,有兴趣的读者可自行证明这一逆定理。
二、妙用“内心”
例2 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是边BC上的高,BE、BF是∠ABC的三等分线,分别交AD于E、F两点,连结CE并延长交AB于点G,连结GF。
    求证:GF∥BE。
证明:连结CF。
由等腰三角形的轴对称性可知,CE、CF也是∠ACB的三等分线。
∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC。
∵CF平分∠ACG,∴点F是△ACG的内心。
    ∴GF平分∠AGC。
    不妨设∠ABF=∠FBE=∠EBC=∠BCG=α,
    ∵∠AGC=∠ABC+∠BCG=4α,
    ∴∠AGF=2α。
    而∠ABE=2α,
    ∴∠AGF=∠ABE。
    ∴GF∥BE。
    评注:本题根据等腰三角形的轴对称性,得出CF平分∠ACG,易知AE平分∠CAG,从而有点F是△ACG的内心,进一步有GF平分∠AGC,这是解决本题的关键所在。
三、妙用“重心”
例3 已知:如图,△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=BC,AD是边BC上的中线,点E在AB上,且AE∶EB=2∶1。
    求证:AD⊥CE。
证明:作CM⊥AB于点M,交AD于点N,连结EN。
    ∵AC=BC,CM⊥AB,
    ∴CM是边AB上的中线。
    ∵AD是边BC上的中线, 
    ∴N是△ABC的重心。 ∴AN∶ND=2∶1。
    ∵AE∶EB=2∶1,∴AN∶ND=AE∶EB。
    ∴NE∥BC。
    ∵AC⊥BC,∴NE⊥AC。
    ∵CM⊥AE,∴N为△ACE的垂心。∴AD⊥CE。
    评注:证明本题的关键是想办法得到点N,它既△ABC是的重心,同时又是△ACE的垂心。考虑到AD为中线,而三角形的重心具有性质:重心到一个角的顶点的距离是重心到这个角的对边中点距离的2倍,即有:AE∶EB=2∶1,所以只需作CM⊥AB,亦即AB边上的中线,其与AD的交点即为△ABC的重心,然后再过渡到点N又同时是△ACE的垂心,从而得证。若交换本题的题设“AE∶EB=2∶1”和结论“AD⊥CE”而得到的命题亦真,读者不妨一试。
四、妙用“垂心”
例4 已知:如图,AB为圆O的直径,从圆上的点C,作CD⊥AB于点D,点E、F分别在AD、AC上,且∠DCE=∠ADF。
    求证:AF∶FC=ED∶DB。
    证明:作FM⊥CD于点M,交CE于点H,连结DH并延长交AC于点N。
    ∵CD⊥AB,CD⊥FM,∴FM∥AD。
    ∴AF∶FC=EH∶HC。     (1)
    ∵∠DCE=∠ADF,
    ∴∠DCE+∠FDC=∠ADF+∠FDC=90°。
    ∴CE⊥DF。
    ∵FM⊥CD,∴H为△CDF的垂心。∴DN⊥AC。
    ∵AB为圆O的直径,∴BC⊥AC。
    ∴DN∥BC。∴EH∶HC=ED∶DB。     (2)
    由(1)、(2)两式得AF∶FC=ED∶DB。
    评注:本题巧妙地利用了垂心H得到第三比EH∶HC,从而使初看较难,似乎无从下手的本题,变得思路流畅,难点也就迎刃而解了。读者可从中领略到灵活应用数学知识给我们带来的成功的喜悦和美的享受。
五、“三心”连珠——欧拉线
1765年,欧拉提出并解决了下面的问题:“在任一三角形中,外心、重心和垂心共线,且垂心到重心的距离二倍于外心到重心的距离。”通过外心、重心、垂心的这条直线,后人称之为欧拉线。
例5已知:如图,在△ABC中,H为垂心,G为重心,O为外心。
求证:H、G、O三点共线,且HG=2GO。
证明:设M为边BC的中点,则点G在AM上,
且AG=2GM。连结OM。
    显然点O在BC的垂直平分线上。
    延长OG至点H,使HG=2GO,连结AH。
    由于∠AGH=∠MGO,∴△AGH∽△MGO。
    从而有AH∥OM,∴AH⊥BC。
    同理可得CH⊥AB,∴点H为△ABC垂心。
    故命题得证。
    评注:上述证明中,我们采用的是“同一法”,通过这种方法将两个结论一次完成,这种证明方法是值得我们去深思的。
    欧拉(1707~1783),瑞士人,历史上最伟大的和最具有才智的数学家之一,他的著作全集有74卷,其研究几乎涉及到数学的每一个领域。虽晚年失明,仍从事数学研究。为数学的发展作出了卓越的贡献。